Ho passato una mattinata in Facoltà, per la consueta lezione del martedì mattina di Didattica Matematica con il Professor Lariccia ma...invece del solito blocco note per appunti e la solita penna mi sono ritrovata con in mano colori, righello, matita e gomma e un grande cartellone bianco davanti. L' obiettivo? Rappresentare il triangolo di Sierpinski! Ovvio no??? Ma...che cos'è?Me lo sono chiesta il primo giorno, ora ho capito!!! 
APPROFONDIMENTO
Perimetro infinito:
Il perimetro del triangolo diventa ogni volta i 3/2 del precedente, infatti i triangoli si triplicano restando simili a se stessi mentre il loro lato si dimezza. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi, anche il perimetro crescerà indefinitamente: esso tende ad infinito quando anche il numero di passi tende ad infinito.
APPROFONDIMENTO
Area nulla:
L'area del triangolo diventa ogni volta i 3/4 della precedente, infatti ad ogni passo viene eliminato da ogni triangolo il triangolo formato dalle parallele ai tre lati che uniscono i punti medi dei lati stessi. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi, l'area decrescerà indefinitamente: essa tende a zero quando il numero di passi tende ad infinito.
Dimensione frazionaria:
il base al nostro metodo possiamo dedurre che la dimensione del triangolo di Sierpinski è log3/log2 = 1,5849625.... essa è più di una linea e meno di una superficie!
Ma che cos'è un frattale???
Il triangolo di Sierpinski (o Gerla di Sierpinski), dal nome del matematico che per primo ne ha studiato le proprietà. Si tratta di un frattale molto semplice da ottenere anche per via geometrica elementare.
Come si costruisce il triangolo di Sierpinski?
Questo è costruito seguendo il seguente metodo iterativo in cui il passo zero corrisponde alla figura di partenza non ancora trasformata:
Prendiamo come figura di partenza un triangolo equilatero: poniamo per comodità il lato = 1
Eliminiamo dalla sua superficie il triangolo che ha come lati i segmenti che uniscono i punti medi dei lati del triangolo precedente: otteniamo 3 triangoli di lato = 1/2
Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 3 triangoli che si sono così formati: otteniamo 9 triangoli di lato = 1/4
Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 9 triangoli che si sono così formati: otteniamo 27 triangoli di lato = 1/8
Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 27 triangoli che si sono così formati: otteniamo 81 triangoli di lato = 1/16Osserviamo che ogni volta il numero di triangoli si triplica, mentre il lato di ciascuno di essi si dimezza.
E' quindi facile dedurre che al passo k: la misura di un lato è 2-k [ricordo che 2-k = (1/2)k];
il numero di triangoli è 3k. Un importante assioma della geometria ci assicura che è possibile dividere un segmento in un qualsiasi numero di parti uguali: il procedimento sopra descritto potrà essere ripetuto senza limite. Si ottiene così il triangolo di Sierpinski, un frattale.
Caratteristiche:
autosimilitudine:
Come si osserva dalla figura a destra, il triangolo ha la caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte, riproduciamo in scala la stessa figura di partenza.
Questo è costruito seguendo il seguente metodo iterativo in cui il passo zero corrisponde alla figura di partenza non ancora trasformata:
Prendiamo come figura di partenza un triangolo equilatero: poniamo per comodità il lato = 1
Eliminiamo dalla sua superficie il triangolo che ha come lati i segmenti che uniscono i punti medi dei lati del triangolo precedente: otteniamo 3 triangoli di lato = 1/2
Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 3 triangoli che si sono così formati: otteniamo 9 triangoli di lato = 1/4
Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 9 triangoli che si sono così formati: otteniamo 27 triangoli di lato = 1/8
Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 27 triangoli che si sono così formati: otteniamo 81 triangoli di lato = 1/16Osserviamo che ogni volta il numero di triangoli si triplica, mentre il lato di ciascuno di essi si dimezza.
E' quindi facile dedurre che al passo k: la misura di un lato è 2-k [ricordo che 2-k = (1/2)k];
il numero di triangoli è 3k. Un importante assioma della geometria ci assicura che è possibile dividere un segmento in un qualsiasi numero di parti uguali: il procedimento sopra descritto potrà essere ripetuto senza limite. Si ottiene così il triangolo di Sierpinski, un frattale.
Caratteristiche:
autosimilitudine:
Come si osserva dalla figura a destra, il triangolo ha la caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte, riproduciamo in scala la stessa figura di partenza.
APPROFONDIMENTO
Perimetro infinito:
Il perimetro del triangolo diventa ogni volta i 3/2 del precedente, infatti i triangoli si triplicano restando simili a se stessi mentre il loro lato si dimezza. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi, anche il perimetro crescerà indefinitamente: esso tende ad infinito quando anche il numero di passi tende ad infinito.
APPROFONDIMENTO
Area nulla:
L'area del triangolo diventa ogni volta i 3/4 della precedente, infatti ad ogni passo viene eliminato da ogni triangolo il triangolo formato dalle parallele ai tre lati che uniscono i punti medi dei lati stessi. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi, l'area decrescerà indefinitamente: essa tende a zero quando il numero di passi tende ad infinito.
Dimensione frazionaria:
il base al nostro metodo possiamo dedurre che la dimensione del triangolo di Sierpinski è log3/log2 = 1,5849625.... essa è più di una linea e meno di una superficie!
Ho scoperto un programma per costruire frattali!!!
Ma che cos'è un frattale???
Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento.
Anche in natura esistono dei tipi di frattali...uno per esempio è in cavolfiore!
Guardate che bello!!!
